급합니다)) 아래의 삼차방정식이 적어도 한개의 정수해를 가지려면 m,n이 만족해야하는 필요충분조건은?
삼차방정식 f(x) = x^3+mx^2+nx+2가 적어도 한개의 정수해를 가지려면 m과 n이 만족해야하는 필요충분조건에 대해 알려드리겠습니다.
우선, 삼차방정식의 정수해를 구하기 위해서는 정수로 나누어 떨어지는 해가 존재해야 합니다. 따라서, 적어도 한개의 정수해를 가지려면 다음의 두 가지 조건을 만족해야합니다.
1. f(x) = 0의 정수해가 존재해야 함
2. f(x) = 0의 계수들이 정수임
첫 번째 조건을 만족하기 위해서는 f(x) = 0의 정수해를 찾아야 합니다. 이를 위해서는 다양한 방법을 사용할 수 있지만, 일반적으로는 유리근의 정리와 정수근의 정리를 활용합니다.
유리근의 정리에 따르면, 만약 p/q (단, p와 q는 서로소인 정수이고 q는 0이 아닌 정수)가 f(x) = 0의 유리해라면, p는 f(x) = 0의 맨 마지막 항의 계수인 2의 약수이고, q는 f(x) = 0의 맨 앞 항의 계수인 1의 약수입니다.
따라서, f(x) = 0의 정수해를 구하기 위해서는 2의 약수와 1의 약수를 조합하여 p/q를 구하고, 이를 f(x) = 0에 대입하여 유리해를 찾는 것이 일반적인 방법입니다.
두 번째 조건을 만족하기 위해서는 f(x) = 0의 계수들이 정수여야 합니다. 따라서, m과 n은 모두 정수이어야 합니다.
요약하자면, 삼차방정식 f(x) = x^3+mx^2+nx+2가 적어도 한개의 정수해를 가지려면 다음의 조건을 만족해야 합니다.
1. f(x) = 0의 정수해를 구할 때, 이를 위한 유리해 p/q는 2의 약수와 1의 약수를 조합하여 구할 수 있어야 함
2. m과 n은 모두 정수여야 함
이상입니다. 추가적인 질문이 있으시면 언제든지 물어보세요!
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